Çokgenler

ÇOKGENLER

1. Çokgen

Bir düzlemde birbirinden farklı ve herhangi üçü doğrusal olmayan A₁, A₂, A₃, … gibi n tane (n ³ 3) noktayı ikişer ikişer birleştiren doğru parçalarının oluşturduğu kapalı şekillere çokgendenir.

a.  İçbükey  (konkav) çokgenler: Bir çokgenin bazı kenar doğruları çokgeni kesiyorsa bu tür çokgenlere  İçbükey çokgen denir.

b.  Dışbükey  (konveks) çokgenler: Kenar doğrularının hiçbiri, çokgeni kesmiyorsa bu çokgenlere denir. dışbükey  çokgen

c. Çokgenlerin elemanları

A, B, C, D, E noktalarına çokgenin köşeleri denir. Komşu ikiköşeyi birleştiren [AB], [BC], [CD], [DE] ve [EA] doğruparçaları çokgenin kenarlarıdır.

• İç  bölgede kenarlar arasında oluşan açılara çokgenin  iç  açıları denir.
• İç  açılara komşu ve bütünler olan açılara çokgenin  dış  açıları denir.
• Köşeleri birleştiren kenarlar haricindeki doğru parçalarına köşegen adı verilir.

2.  Dışbükey  Çokgenlerin Özellikleri

a.  İç  açılar toplamı:  Dış  bükey bir çokgenin n tane kenarı var ise  iç  açılarının toplamı

(n – 2) . 180°

Üçgen  için  (3 – 2) . 180° = 180°

Dörtgen  için  (4 – 2) . 180° = 360°

Beşgen  için  (5 – 2) . 180° = 540°

b.  Dış  açılar toplamı: Bütün  dışbükey  çokgenlerde,

Dış  açılar toplamı =360°

c. Köşegenlerin sayısı: n kenarlı  dışbükey  bir çokgenin

Bir köşeden (n – 3) tane köşegen çizilebilir.

• n kenarlı  dışbükey  bir çokgenin  içerisinde , bir köşeden köşegenler çizilerek
  (n – 2) adet üçgen elde edilebilir.

3. Düzgün Çokgenler

Bütün kenarlarının uzunlukları eşit ve bütün açılarının ölçüleri eşit olan çokgenlere düzgün çokgen denir.

a. şekildeki düzgün altıgende olduğu gibi düzgün çokgenlerin köşelerinden daima bir çember geçer. Bu çembere çevrel çember denir.

b. Düzgün çokgenlerde eşit sayıda kenarı birleştiren köşegenler birbirine eşittir.

|AC|=|AE|=|BD| |AD|=|AD|=||

c. Kenar sayısı çift olan düzgün çokgenlerde karşılıklı kenarlar paraleldir.

[AF] // [CD], [AB] // [ED]….[AH] // [DE], [AB] // [FE]…

d. Kenar sayısı tek olan düzgün çokgenlerde karşı kenara çizilen dik karşı kenarı ortalar. Köşeden kenarın ortasına çizilen doğru parçası kenara diktir şeklinde de ifade edilir.

e. n kenarlı düzgün bir çokgende

f. Konveks çokgenlerin  dış  açıları toplamı 360° olduğundan düzgün çokgenin bir  dış  açısı

4. Düzgün Çokgenin Alanı

a.n kenarlı düzgün çokgenin bir kenarı a ve  içteğet yarıçapı r ise alanı

b.n kenarlı bir düzgün çokgende bir kenarı gören merkez açı   (Bu açı aynı zamanda  dış  açıdır) ve çevrel çemberin yarıçapı R ise çokgenin alanı

Düzgün altıgen altı tane eşkenar üçgenden oluşur. Bir kenarına a dersek

• DÖRTGENLERİN GENEL ÖZELLİKLERİ

1.Bir dörtgende komşu iki  iç  açının açıortaylarının oluşturduğu açının ölçüsü, diğer iki açının ölçüleri toplamının yarısına eşittir.

2.Bir dörtgende karşı iki açının açıortayları arasındaki dar açının ölçüsü diğer iki açının ölçüleri farkının mutlak değerinin yarısına eşittir.

3.Köşegenleri ve köşegenlerinin arasındaki açısının ölçüsübilinen dörtgenin alanı;ABCD dörtgeninde [AC] ve [BD] köşegen uzunlukları ile abiliniyor

Köşegenleri birbirine dik olan dörtgenlerde (sin 90° = 1 olduğundan)

Köşegen doğruları birbirine dik ise

4. Köşegenleri ve köşegenlerinin arasındaki açısının ölçüsü bilinen  içbükey  dörtgenin alanı;[AC] ve [BD] köşegenleri ile köşegen doğruları arasındaki a biliniyor ise ABCD  içbükey  dörtgeninin alanı;

5. Köşegenleri dik kesişen dörtgenlerin kenarları arasındaki bağıntı; ABCD dörtgeninde [AC] ^ [BD]

Köşegenleri dik olan dörtgenlerin karşılıklı kenarlarının kareleri toplamı eşittir.

Köşegenleri dik  içbükey  dörtgenlerde de karşılıklı kenarların kareleri toplamı eşittir. ABCD dörtgeninde

6. Dörtgenlerde köşegenlerin ayırdığı alanlar; ABE ve ADE üçgenlerinin yükseklikleri eşit olduğundan alanlarının oranı tabanlarının oranına eşittir.

7. Dörtgenlerde kenarların orta noktalarının birleştirilmesiyle oluşan paralelkenar; ABCD dörtgeninde kenarların orta noktaları birleştirilerek oluşan KLMN dörtgeni paralelkenardır. Paralelkenarın alanı dörtgenin alanının yarısına eşittir.[KL] // [BD] // [MN] ve |KL| = |MN| = [LM] // [AC] // [KN] ve |LM| = |KN| =

• Köşegenleri dik kesişen dörtgenlerde, kenarların orta noktaları birleştirilerek elde edilen dörtgen, dikdörtgendir.

[AC] ^ [BD] ve K, L, M, N kenarların orta noktaları ise KLMN dikdörtgendir.