Üçgende Alan

Üçgende alan konusuyla ilgili özellikler aşağıda sıralanmıştır. Tüm geometri konularında olduğu gibi bu konuyla ilgili de bazı formüller ön plana çıkmatadır. Baktığımız şekilleri hatırlamamız sınav anında kolay değildir. Önümüze çıkan kpss sorularında aklımızda tuttuğumuz bu resimleri ve formülleri genelde soruya uygulamak çok zordur. Bunun için tabiki bolca soru, test ve kpss deneme sınavı çözmek konuyu daha rahat sindirmenize yardımcı olacaktır.

Bir üçgenin alanı, bir kenarın uzunluğu ile bu kenara ait yüksekliğin uzunluğunun çarpımının yarısına eşittir.

$Alan( {ABC}limits^{} ) = frac{{a.{h_a}}}{2} = frac{{b.{h_b}}}{2} = frac{{c.{h_c}}}{2}$

$a.{h_a} = b.{h_b} = c.{h_c}$

Üçgende alan konusunda, bir üçgenin üç kenarının uzunluğu verilirse ve $frac{{a + b + c}}{2} = u$ dersek;

$Alan(ABC) = \sqrt {u(u - a).(u - b).(u - c)}$ ABC üçgeninin alanını bu şekilde bulabiliriz.

Bir üçgenin iç teğet çemberinin yarıçap uzunluğu (r) ve çevresinin uzunluğu (2u) biliniyorsa ABC üçgeninin alanında şöyle bir ilişki doğar;

$A(ABC) = A(BOC) + A(AOB) + A(AOC)$

Ayrıca; 2x+2y+2z=2u formülünden;

$x + y + z = u$ sonucu ortaya çıkmaktadır.

Yine bunlarla beraber: $A(ABC) = frac{{(x + z).r}}{2} + frac{{(x + y).r}}{2} + frac{{(y + z).r}}{2}$

$(x + y + z).r = Alan(ABC) = u.r$ sonuçları da ortaya çıkar.

Bir üçgenin çevrel çemberinin yarıçapı (r) uzunluğu verilirse aşağıdaki formül ortaya çıkar.

$Alan(ABC) = frac{{a.b.c}}{{4r}}$

Bir dik üçgenin alanı dik kenarların çarpımının yarısına eşittir.

$Alan(ABC) = frac{{b.c}}{2} = frac{{a.{h_a}}}{2}$

Buradan, $b.c = a.{h_a}$ sonucu ortaya çıkar.

Bir dik üçgenin iç teğet çemberinin hipotenüs üzerinde ayırdığı parça uzunlukları m ve n ise Alan şu şekilde bulunur:

$Alan(ABC) = m.n = u.r$

Eşkenar Üçgenin Alanı:

ABC üçgeni eşkenar üçgen olmak üzere,

$h = frac{{asqrt 3 }}{2}$

$Alan(ABC) = frac{{a.h}}{2} = frac{{{a^2}.sqrt 3 }}{4}$

Bir üçgenin bir kenarına paralel olarak çizilen doğrular diğer kenarları farklı noktalarda kesiyor ve doğrular üçgenin kenarları üzerinde eşit parçalar ayırıyorsa paralel doğrular arasında bölgelerin alanları tek sayılar ile orantılı biçimdedir.

Bunun temel sebebi benzerliktir.

Yükseklikleri aynı tabanları farklı üçgenlerin alanlarının oranı tabanlarının oranına eşittir.

$Alan(ABC) = frac{{|BC|.{h_a}}}{2}$

$Alan(ABC) = frac{{|DC|.{h_a}}}{2}$

$frac{{Alan(ABC)}}{{Alan(ADC)}} = frac{{|BC|}}{{|DC|}}$

Üçgende alan konusu içinde bir de kenarortayların oluşturduğu alanlar mevcuttur.

Açıortayın oluşturduğu alan