Özel Üçgenler

ÖZEL ÜÇGENLER 
DIK ÜÇGEN
Bir açisinin ölçüsü 90° olan üçgene dik üçgen denir. Dik üçgende 90° nin karsisindaki kenara hipotenüs, diger kenarlara dik kenar adi verilir. Hipotenüs üçgenin daima en uzun kenaridir. sekilde, m(A) = 90° 

[BC] kenari hipotenüs, [AB] ve [AC] kenarlari dik kenarlardir.



PISAGOR BAGINTISI
Dik üçgende dik kenarlarin uzunluklarinin kareleri toplami hipotenüsün uzunlugunun karesine esittir. ABC üçgeninde m(A) = 90°


a2=b2+c2 

ÖZEL DIK ÜÇGENLER
1. (3 - 4 - 5) Üçgeni 

Kenar uzunluklari (3 - 4 - 5) sayilari veya bunlarin kati olan bütün üçgenler dik üçgendir. (6 - 8 - 10), (9 - 12 - 15), ? gibi



2. (5 - 12 - 13) Üçgeni
Kenar uzunluklari (5 - 12 - 13) sayilari ve bunlarin kati olan bütün üçgenler dik üçgenlerdir. (10 - 24 - 26), (15 - 36 - 39), ? gibi.

 

Kenar uzunluklari 8, 15, 17 sayilari ile orantili olan üçgenler dik üçgenlerdir.



Kenar uzunluklari 7, 24, 25 sayilari ile orantili olan üçgenler dik üçgenlerdir.



3. Ikizkenar dik üçgen
ABC dik üçgen |AB| = |BC| = a |AC| = aÖ2 
m(A) = m(C) = 45° Ikizkenar dik üçgende
hipotenüs dik kenarlarin Ö2 katidir.


4. (30° ? 60° ? 90°) Üçgeni
ABC eskenar üçgeni yükseklikle ikiye bölündügünde
ABH ve ACH (30° - 60° - 90°)
üçgenleri elde edilir.
|AB| = |AC| = a
|BH| = |HC| =  pisagordan 



(30° - 60° - 90°) dik üçgeninde; 30°'nin karsisindaki kenar hipotenüsün yarisina esittir. 60° nin karsisindaki kenar,
30° nin karsisindaki kenarin Ö3 katidir.



5. (30° - 30° - 120°) Üçgeni (30° - 30° - 120°) üçgeninde 30° lik açilarin karsilarindaki kenarlara a dersek 120° lik açinin karsisindaki kenar aÖ3 olur.



6. (15° - 75° - 90°) Üçgeni (15° - 75° - 90°) üçgeninde 
hipotenüse ait yükseklik |AH| = h dersek, hipotenüs 
|BC| = 4h olur. Hipotenüs kendisine ait yüksekligin dört
katidir.



ÖKLIT BAGINTILARI
Dik üçgenlerde hipotenüse ait yüksekligin verildigi durumlarda benzerlikten kaynaklanan öklit bagintilari kullanilir.




1. Yüksekligin hipotenüste ayirdigi parçalarin çarpimi yüksekligin karesine esittir.
h2 = p.k2.b2 = k.ac2 = p.a
3. ABC üçgeninin alanini iki farkli sekilde yazip esitledigimizde


Ikizkenar üçgenin tepe açisindan tabanina çizilen yükseklik, hem açiortay, hem de kenarortaydir.



1. Bir üçgende, açiortay ayni zamanda yükseklik ise bu üçgen ikizkenar üçgendir. |AB| = |AC|

|BH| = |HC|
m(B) = m(C)



2. Bir üçgende, açiortay ayni zamanda kenarortay ise bu üçgen ikizkenar üçgendir. |AB| = |AC|,
[AH] ^ [BC]
m(B) = m(C)



3. Bir üçgende, yükseklik ayni zamanda kenarortay ise bu üçgen ikizkenar üçgendir. |AB| = |AC|
m(BAH) = m(HAC)
m(B) = m(C)



Ikizkenar üçgende açiortay, kenarortay ve yüksekligin ayni olmasi birçok yerde karsimiza çiktigindan çok iyi bilinmesi gereken bir özelliktir.

4. Ikizkenar üçgende ikizkenara ait yükseklikler esittir. Bu durumda yüksekliklerin kesim noktasinin ayirdigi parçalarda esit olur.



5. Ikizkenar üçgende ikizkenara ait kenarortaylar ve kenarortaylarin kesim noktasinin ayirdigi parçalar da birbirine esittir.



6. Ikizkenar üçgende esit açilara ait açiortaylar da esittir. Açiortaylar birbirini ayni oranda bölerler.



7. Ikizkenar üçgende ikiz olmayan kenar üzerindeki herhangi bir noktadan ikiz kenarlara çizilen dikmelerin toplami, ikizkenarlara ait yüksekligi verir. 
|AB| = |AC| ? |LC| = |HP| + |KP|



8. Ikizkenar üçgende tabandan ikiz kenarlara çizilen paralellerin toplami, ikiz kenarlarin uzunluguna esittir. 




ESKENAR ÜÇGEN
1. Eskenar üçgende bütün açiortay, kenarortay yükseklikler çakisik ve hepsinin uzunluklari esittir. nA = nB = nC = Va = Vb = Vc = ha = hb = hc 


2. Eskenar üçgenin bir kenarina a dersek yük seklik  Bu durumda eskenar üçgenin alani 



yükseklik cinsinden alan degeri
Alan(ABC) = 

3. Eskenar üçgenin içindeki herhangi bir noktadan kenarlara çizilen dik uzunluklarin toplami, eskenar üçgene ait yüksekligi verir. Bir kenari a olan eskenar üçgende;

 


4. Eskenar üçgenin içindeki herhangi bir noktadan kenarlara çizilen paralellerin toplami bir kenar uzunluguna esittir.



Bir kenari a olan ABC eskenar üçgeninde