Üçgende Benzerlik

1. Benzer Üçgenler

Karşılıklı açıları eş ve karşılıklı  kenarları  orantılı olan üçgenlere benzer üçgenler denir.

ABC ve DEF üçgenleri  için ;

oranı yazılır

Buradan ABC üçgeni ile DEF üçgeni benzerdir denir ve

ABC ~ DEF biçiminde gösterilir.

 eşitliğinde verilen k sayısına, benzerlik oranı yada benzerlik

katsayısı denir.

• k = 1 olan benzer üçgenlerde karşılıklı  kenarlar  eşit olduğundan, bu üçgenlere eş üçgenler denir.

ABC ~ DEF benzerliği yazılırken eş açıların sıralanmasına dikkat edilir.

2. Açı – Açı Benzerlik Teoremi

Karşılıklı ikişer açıları eş olan üçgenler benzerdir.

şekilde verilen üçgenlerde

İkişer açıları eş olduğundan, üçüncü açıları da eş olmak zorundadır. Dolayısıyla bu iki üçgen benzer üçgenlerdir.

m(C)=m(F)

3.  Kenar  – Açı –  Kenar  Benzerlik Teoremi

İki üçgenin karşılıklı ikişer  kenarı  orantılı ve bu  kenarların  oluşturduğu karşılıklı açılar eş ise, üçgenler benzerdir.

ABC üçgeni ile DEF üçgeninin BAC ve EDF açıları eş, bu açıların  kenarları  da orantılı ise, bu iki üçgen benzerdir.

BAC açısının  kısa   kenarının  EDF açısının  kısa   kenarına  oranı, BAC açısının uzun  kenarının EDF açısının uzun  kenarına  oranına eşittir.

4.  Kenar  –  Kenar  –  Kenar  Benzerlik Teoremi

İki üçgenin karşılıklı bütün  kenarları  orantılı ise bu iki üçgen benzerdir.

Kenarları  orantılı olan ABC ve DEF benzer üçgenlerinde orantılı  kenarları  gören açılar eştir.

m(A) = m(D),

m(B) = m(E),

m(C) = m(F)

5. Temel Benzerlik Teoremi

ABC üçgeninde [DE] // [BC] ise yöndeş  açılar eşolacağından ADE ~ ABC dir.

Ağırlık merkezinden çizilen paralel doğru  kenarları 1birime 2 birim oranında böler. ABC üçgeninde G ağırlık merkezi ve [KL] // [BC] |AK|=2|KB||AL|=2|LC|

6. Tales Teoremi

Paralel doğrular kendilerini kesen  doğruları aynı orandabölerler. d1 // d2 // d3  doğruları  için   Buradan  de elde edilir

[AB] // [DE] ise oluşan  içters   açıların eşitliğinden,ABC ~ EDC olur. Buradan, eşitliği elde edilir. Buna kelebek benzerliği de denir.

7. Benzerlik Özellikleri

Benzer üçgenlerin açıları karşılıklı olarak eş, diğer bütün elemanları orantılıdır.

ABC ~ DEF  Û

Burada k ya benzerlik oranı denir.

a. Benzer üçgenlerde orantılı  kenarlara  ait yüksekliklerin oranı benzerlik oranına eşittir.

b. Benzer üçgenlerde orantılı  kenarlara  ait  kenar -ortay uzunluklarının oranı benzerlik oranına eşittir.

c. Benzer üçgenlerde eş açılara ait açıortay uzunluklarının oranı benzerlik oranına eşittir.

d. Benzer üçgenlerin çevrelerinin oranı benzerlik oranına eşittir.

e. ABC üçgeninde  içteğet  çemberin yarıçapı r_ABC ve çevrel çemberin yarıçapı R_ABC , DEF üçgeninde  içteğet  çemberin yarıçapı r_DEF ve çevrel çemberin yarıçapı R_DEF olsun.

f. Alanlar oranı

Benzer üçgenlerin alanlarının oranı benzerlik oranının karesine eşittir.

g. Benzerlik oranı k = 1 olan üçgenler eş üçgenlerdir.

Kenarları  eşit aralıklı paralellerle bölünmüş olan üçgenlerde alanlar 1, 3, 5, 7 … gibi tek sayılarla orantılı olarak artar.

[AB] // [EF] // [DC]  benzerlik özelliklerinden, |AB|.|FC|=|DC|.|BF|

8. Özel Teoremler

a. Menelaüs

ABC üçgeni KM doğru parçası ile şekildeki gibi kesiliyor ise

b. Seva

ABC üçgeni  içerisinde  alınan bir P noktası  için ,